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et, prenant maintenant la fonction prime de celle-ci relativement à $y,$ on aura, après les réductions,

$f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}.$

De même, en prenant la fonction prime de $f''_{_{'}}(x,y)$ relativement à $x,$ on trouvera

$f''_{_{'}}(x,y)={\frac {3x^{2}y^{2}+3xy^{3}}{\left(2xy+y^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},$

et ainsi de suite.

Il résulte de là que, afin que des fonctions données de $x$ et $y$puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.

Ainsi, si $\operatorname {F} (x,y)$ et $\varphi (x,y)$ représentent des fonctions données de $x,y,$ pour qu’on puisse supposer

$\operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),$

il faudra que l’on ait

$f'_{_{'}}(x,y)=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)=\varphi '(x,y).$

Et, en général, pour qu’on puisse supposer

$\operatorname {F} (x,y)=f_{n}^{m}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{q}^{p}(x,y),$

il faudra que l’on ait

$f_{n+q}^{m+p}(x,y)=\operatorname {F} _{q}^{p}(x,y)=\varphi _{n}^{m}(x,y).$

Par exemple, si

$\operatorname {F} (x,y)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\quad \varphi (x,y)=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},$

on pourra supposer

$\operatorname {F} (x,y)=f'(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f_{_{'}}(x,y),$

car on trouve

$\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}=\varphi '(x,y)\,;$