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mais on ne pourrait pas supposer

$\operatorname {F} (x,y)=f'_{_{'}}(x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y)=f''(x,y),$

car alors il faudrait que

$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),$

ce qui n’est pas.

76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l’on donne un accroissement à chacune de ces variables, et qu’on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces différents accroissements, qu’on développe ensuite de la même manière les fonctions produites par le premier développement, et ainsi de suite, il règne entre ces différents développements une loi que nous allons exposer d’une manière générale, parce qu’elle peut être utile dans quelques occasions.

Soit $f(x,y,z,\ldots )$ une fonction de plusieurs variables indépendantes $x,y,z,\ldots \,;$ supposons que, par la substitution de $x+\alpha ,$ $y+\beta ,\ z+\gamma ,\ldots$ à la place de $x,y,z,\ldots$ et par le développement suivant les puissances et les produits de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ cette fonction devienne

$f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots .$

Je dénote par $f(1)$ la somme de tous les termes où les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seront à la première dimension, par $f(2)$ la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et ainsi de suite.

Supposons, de plus, qu’en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions $f(1),f(2),f(3),\ldots$ elles deviennent

${\begin{aligned}&f(1)+f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+\ldots ,\\&f(2)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+\ldots ,\\&f(3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3)+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$