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où je dénote par $f(1,1),f(1,2),\ldots$ les rangs successifs des termes du développement de $f(1),$ de manière que, puisque les quantités, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont à la première dimension dans $f(1),$ elles formeront deux dimensions dans $f(1,1),$ trois dimensions dans $f(1,2),$ et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu’en général la quantité désignée par $f(m,n)$ renfermera tous les termes du développement de $f(m),$ où les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ formeront $m+n$ dimensions.

Cela posé, si l’on substitue d’abord $x+\alpha ,\ y+\beta ,\ z+y,\ldots$ dans la fonction $f(x,y,z,\ldots ),$ elle deviendra

$f(x,y,z,\ldots )+f(1)+f(2)+f(3)+\ldots ,$

et, si l’on substitue ensuite, dans cette quantité, $x+m\alpha ,\ y+m\beta ,$ $z+m\gamma ,\ldots$ à la place de $x,y,z,$ il est clair qu’elle deviendra

${\begin{aligned}f(x,y,z,\ldots )&+\quad f(1)\ \ \,+\quad \ \ f(2)\ \ \ +\quad \ \ f(3)\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1)\,\ \ \ +m^{2}f(2)\,\ \ \ +m^{3}f(3)\,\ \ \ +\ldots ,\\&+mf(1,1)+m^{2}f(1,2)+m^{3}f(1,3)+\ldots ,\\&+mf(2,1)+m^{2}f(2,2)+m^{3}f(2,3)+\ldots ,\\&+mf(3,1)+m^{2}f(3,2)+m^{3}f(3,3)+\ldots ,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique qu’on ferait dans la fonction $f(x,y,z,\ldots ),$ en mettant

$x+(1+m)\alpha ,\quad y+(1+m)\beta ,\quad z+(1+m)\gamma ,\quad \ldots$

à la place de $x,y,z,\ldots ,$ et qui donnerait, par le développement,

$f(x,y,z,\ldots )+(1+m)f(1)+(1+m)^{2}f(2)+(1+m)^{3}f(3)+\ldots .$

Ainsi, il faudra que ces deux développements soient identiques et que, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient égaux de part et d’autre, quelle que soit d’ailleurs la