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quantité $m.$ On aura donc les comparaisons suivantes :

${\begin{aligned}&f(1)+m\ \ f(1)=(1+m)f(1),\\&f(2)+m^{2}f(2)+m\ \ f(1,1)=(1+m)^{2}f(2),\\&f(3)+m^{3}f(3)+m^{2}f(1,2)+m\ \ f(2,1)=(1+m)^{3}f(3),\\&f(4)+m^{4}f(4)+m^{3}f(1,3)+m^{2}f(2,2)+mf(3,1)=(1+m)^{4}f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et, comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de $m,$ on tirera ces valeurs :

${\begin{aligned}&f(1,1)=2f(2),\\&f(1,2)=3f(3),\quad f(2,1)=3f(3),\\&f(1,3)=4f(4),\quad f(2,2)=6f(4),\quad f(3,1)=4f(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, par les termes du premier développement général, on pourra avoir immédiatement ceux de tous les développements partiels suivants.

77. À l’imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d’une seule variable, si l’on regarde $z$ comme une fonction de $x$ et $y,$ on pourra dénoter par $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots$ ces différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre $z$ les mêmes traits qu’on appliquerait à la caractéristique $f$ de la fonction $f(x,y)$ qu’on suppose représenter la valeur de $z,$ et l’on nommera ces fonctions de la même manière.

Ainsi, $x$ devenant $x+i$ et $y$ devenant $y+o,$ la quantité $z,$ fonction de $x,y,$ deviendra (n^o 73)

$z+iz'+oz_{_{'}}+{\frac {i^{2}}{2}}z''+ioz'_{_{'}}+{\frac {o^{2}}{2}}z_{_{''}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+{\frac {i^{2}o}{2}}z''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}z'_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}z_{_{'''}}+\ldots ,$

le terme général, de cette série étant, comme dans l’endroit cité,

${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}z_{n}^{m}.$