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CHAPITRE XIII.

Où l’on donne la manière de développer les fonctions d’un nombre quelconque de variables en séries terminées, composées d’autant de termes qu’on voudra, et d’avoir la valeur des restes.

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78. Par une méthode analogue à celle du Chapitre VI, on peut aussi avoir le développement d’une fonction quelconque de $x$ et $y$ suivant les puissances de $x$ et $y$ et déterminer les restes de la série lorsqu’on veut l’arrêter à des termes quelconques. En changeant, dans la formule du ns^o 73, $x$ et $y$ en $x-i,\ y-i,$ ensuite $i$ et $o$ en $xz,\ yz,$ on aura

$f(x,y)=f(x-xz,y-yz)+xzf'(x-xz,y-yz)+yzf_{_{'}}(x-xz,y-yz)$

$+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz,y-yz)+xyz^{2}f'_{_{'}}(x-xz,y-yz)$

$+{\frac {y^{2}z^{2}}{2}}f_{_{''}}(x-xz,y-yz)+\ldots ,$

où $s$ sera une quantité quelconque indéterminée qui, étant supposée égale à zéro, rendra l’équation identique, et qui, étant faite égale à $1,$ donnera

$f(x,y)=f+xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}+\ldots ,$

formule générale du développement de la fonction $f(x,y)$ suivant les puissances de $x$ et $y,$ dans laquelle les quantités désignées par $f,f',f_{_{'}},\ldots$ dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant $x$ et $y,$ en faisant $x=0$ et $y=0.$

Supposons maintenant qu’on ne veuille faire ce développementque