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CHAPITRE XVI.

Méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.

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88. Nous avons vu comment on peut faire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes ; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (n^o 82).

Considérons en général l’équation

$\operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]=0,$

dans laquelle $p$ soit égale à $f(x,y,z),$ les deux fonctions désignées par les caractéristiques $\operatorname {F}$ et $f$ étant données, et la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ étant arbitraire ; on peut supposer $y$ une fonction de $x$ telle que la fonction prime de $p$ soit nulle ; alors $p$ pourra être traitée comme constante dans la fonction $\operatorname {F} [x,y,z,\varphi (p)],$ pourvu qu’on détermine $y'$ par la condition que la fonction prime de $f(x,y,z)$ soit nulle.

Désignons simplement par $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)$ et de même par $f'(x),$$f'(y),f'(z)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]$ et de $f(x,y,z),$ prises relativement à $x,y,z$ isolées et regardées comme indépendantes on aura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}$