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Il est clair que la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que pour une valeur quelconque de $i,$ aussi petite qu’on voudra, la valeur de $\mathrm {D}$ ne surpasse celle de $\Delta ,$ abstraction faite des signes.

Développons les fonctions $f(x+i),\ \operatorname {F} (x+i),\ \varphi (x+i)$ partiellement, suivant la formule du n^o 40 de la première Partie, et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes. Nommant $j$ une quantité indéterminée, mais renfermée entre les limites $o$ et $i,$ on aura, par cette formule,

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),$

et de même

${\begin{aligned}\operatorname {F} (x+i)=&\operatorname {F} (x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),\\\varphi (x+i)=&\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x+j),\end{aligned}}$

où la quantité $j$ pourra n’être pas la même dans les trois fonctions, pourvu qu’elle soit renfermée entre les mêmes limites.

Faisant ces substitutions dans les expressions de $\mathrm {D}$ et $\Delta ,$ on aura, à cause de $f(x)=\operatorname {F} (x)=\varphi (x),$ en vertu du point commun aux trois courbes,

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&i\left[f'(x)-\operatorname {F} '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\operatorname {F} ''(x+j)\right],\\\Delta =&i\left[f'(x)-\varphi '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\varphi ''(x+j)\right].\end{aligned}}$

Supposons maintenant que les deux premières courbes soient telles que l’on ait $f'(x)=\operatorname {F} '(x)\,;$ la valeur $\mathrm {D}$ se réduira à

$\mathrm {D} ={\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+j)-\operatorname {F} ''(x+j)\right],$

et il est aisé de se convaincre que, tant que le terme affecté de $i$ dans l’expression de $\Delta$ ne sera pas nul, on pourra toujours prendre $i$ assez petit pour que la quantité $\Delta$ devienne plus grande que la quantité $\mathrm {D} ,$ abstraction faite des signes. En effet, en divisant ces deux quan-