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tités par $i\,;$ il suffira que la quantité $f'(x)-\varphi '(x)$ soit plus grande que ${\frac {i^{2}}{2}}\left[\varphi ''(x+j)-\operatorname {F} ''(x+j)\right],$ ce qui est évidemment toujours possible, en prenant $i$ aussi petit qu’on voudra, et il est visible aussi que, aussitôt que cette condition aura lieu pour une valeur déterminée de $i,$ elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs plus petites de $i.$

Donc la troisième courbe ne pourra, dans ce cas, passer entre les deux premières, à moins que la quantité $f'(x)-\varphi '(x)$ ne devienne nulle, c’est-à-dire qu’on n’ait

$\varphi '(x)=f'(x),$

auquel cas la conclusion précédente cessera d’avoir lieu.

4. Supposons ensuite que l’on ait à la fois $\operatorname {F} '(x)=f'(x)$ et $\operatorname {F} ''(x)=f''(x)\,;$ en prenant trois termes dans le développementdes fonctions, nous aurons, par la même formule du n^o 40 (I^re Partie),

${\begin{aligned}f(x+i)=&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)\ +{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''\,(x+j),\\\operatorname {F} (x+i)=&\operatorname {F} (x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(x+j),\\\varphi (x+i)=&\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)\,+{\frac {i^{3}}{2.3}}\varphi '''(x+j).\end{aligned}}$

Ces valeurs étant substituées dans les expressions générales de $\mathrm {D}$ et $\Delta ,$ à cause de $f(x)=\operatorname {F} (x)=\varphi (x)$ et $f'(x)=\operatorname {F} '(x),$ $f''(x)=\operatorname {F} ''(x),$ donneront

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[f'''(x+j)-\operatorname {F} '''(x+j)\right],\\\Delta =&i\left[f'(x)-\varphi '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x)-\varphi ''(x)\right]+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[f'''(x)-\varphi '''(x)\right].\end{aligned}}$

Ici, il est aisé de voir que, tant que les termes affectés de $i$ et de $i^{2}$ dans l’expression de $\Delta$ ne seront pas nuls, on pourra prendre $i$ assez petit pour que la quantité $\Delta$ devienne plus grande que $\mathrm {D} ,$ abstraction faite des signes. Car, divisant ces deux quantités par $i,$ il suffira