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que la quantité $f'(x)-\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x)-\varphi ''(x)\right]$ soit plus grande que ${\frac {i^{3}}{2.3}}\left[\varphi '''(x+j)-\operatorname {F} '''(x+j)\right],$ ce qui est évidemment possible lorsque $f'(x)-\varphi '(x)$ n’est pas nulle, et, si $f(x)-\varphi '(x)$ est nulle, alors, en divisant encore par $i,$ il suffira que $f''(x)-\varphi ''(x)$ soit une quantité plus grande que ${\frac {i}{3}}\left[\varphi '''(x+j)-\operatorname {F} '''(x+j)\right],$ ce qui est encore visiblement possible, en diminuant la valeur de $i$ tant qu’on voudra ; pourvu que $f''(x)-\varphi ''(x)$ ne soit pas nulle.

Donc, dans ce cas, la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins qu’on n’ait à la fois

$\varphi '(x)=f'(x)\quad {\text{et}}\quad \varphi ''(x)=f''(x).$

On prouvera de la même manière que, si l’on a pour les deux premières courbes

$f'(x)=\operatorname {F} '(x),\quad f''(x)=\operatorname {F} ''(x)\quad {\text{et}}\quad f'''(x)=\operatorname {F} '''(x),$

la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que l’on n’ait aussi

$\varphi '(x)=f'(x),\quad \varphi ''(x)=f''(x),\quad \varphi '''(x)=f'''(x),$

et ainsi de suite.

5. On peut conclure de là, en général, que, si l’on a une courbe quelconque et qu’une autre courbe donnée ait un point commun avec celle-là, ce qui exige que leurs ordonnées pour la même abscisse soient égales, que de plus les fonctions primes de ces ordonnées pour la même abscisse commune soient aussi égales, alors il sera impossible qu’aucune autre courbe qu’on mènerait par le même point commun passe entre les deux courbes, à moins que la fonction prime de son ordonnée pour la même abscisse ne soit aussi égale à la fonction prime de l’ordonnée commune aux deux courbes.

Et si, outre les fonctions primes de ces ordonnées, leurs fonctions, secondes pour la même abscisse étaient aussi égales, alors il serait im-