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c’est-à-dire l’équation même de la courbe du contact, dans laquelle une seule des deux constantes $a$ et $b$ sera arbitraire, l’autre étant déterminée par l’équation même du problème $\varphi (a,b)=0.$

L’autre équation,

$\mathrm {M\varphi '(P)+N\varphi '(Q)} =0,$

ne sera que du premier ordre et sans constante arbitraire ; mais, étant combinée avec l’équation $\varphi (\mathrm {P,Q} )=0,$ elle donnera, par l’élimination de $y',$ une équation entre $x$ et $y$ qui sera l’équation primitive singulière de cette dernière $\varphi (\mathrm {P,Q} )=0.$

Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités $a,b$ et $y'$ entre les quatre équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b)'=0,\quad \varphi (a,b)=0,\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)=0.$

Or, en regardant $a$ et $b$ comme des fonctions de $x$ et $y,$ les équations

$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,$

résultant des deux premières, donnent ces deux équations primes

$a'=\mathrm {P'=MV} \quad {\text{et}}\quad b'=\mathrm {Q'=NV'} \,;$

donc

$\mathrm {\frac {N}{M}} ={\frac {b'}{a'}},$

de sorte que la dernière équation se réduira à celle-ci,

$\varphi '(a)+{\frac {b'\varphi '(b)}{a'}}=0,$

qui n’est autre chose que l’équation prime de $\varphi (a,b)=0,$ divisée par $a'.$ D’un autre côté, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, il est évident que la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b)$ n’est pas simplement $\operatorname {F} (x,y,a,b)',$ mais qu’il y faut ajouter les termes dus à la variation de $a$ et $b,$ qui sont $a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b),$ en désignant pa $\operatorname {F} '(a)$ et $\operatorname {F} '(b)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b)$ prises relativement à $a$ et à $b,$ regardés comme seules variables. Donc, prenant les fonctions primes de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$