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on aura

$\operatorname {F} (x,y,a,b)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0.$

Mais on a déjà l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)'=0\,;$

on aura donc nécessairement, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, l’équation

$a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0,$

d’où l’on tire

${\frac {b'}{a'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(a)}{\operatorname {F} '(b)}}\,;$

c’est la valeur de $\mathrm {\frac {N}{M}} ,$ qu’on peut trouver directement de cette manière, et qu’on voit clairement ne pouvoir être une fonction du premier ordre, puisqu’elle ne contient que les quantités $x,y$ et $a,b.$

Donc l’équation dont il s’agit sera, en dernière analyse, le résultat de l’élimination de $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}}$ entre les quatre équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \varphi (a,b)=0,$

$\operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,\quad \varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)=0,$

dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières, prises relativement à $a$ et $b$ et divisées par $a'\,;$ l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

n’est plus nécessaire ici et se trouve remplacée par l’équation

$\operatorname {F} '(a)+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)=0,$

qui en est une suite. Donc, si on réduit d’abord les deux premières en une seule par l’élimination de $b,$ il ne s’agira plus que de prendre l’équation prime de celle-ci relativement à $a$ seul et d’éliminer ensuite a par le moyen de ces deux ; le résultat sera nécessairement le même qu’auparavant.