Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/22

et de là

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}(2x+i)+4x{\sqrt {x+i}}}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{2}}},$

comme plus haut. On en usera de même dans tous les cas semblables.

6. Mais le principal avantage de la méthode que nous avons exposée consiste en ce qu’elle fait voir comment les fonctions $p,q,r,\ldots$ résultent de la fonction principale $f(x),$ et surtout en ce qu’elle prouve que les restes $i\mathrm {P} ,\ i\mathrm {Q} ,\ i\mathrm {R} ,\ldots$ sont des quantités qui doivent devenir nulles lorsque $i=0,$ d’où l’on tire cette conséquence importante que, dans la série

$f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,$

qui naît du développement de $f(x+i),$ on peut toujours prendre $i$ assez petit pour qu’un terme quelconque soit plus grand que la somme de tous les termes qui le suivent, et que cela doit avoir lieu aussi pour toutes les valeurs plus petites de $i$.

Car, puisque les restes $i\mathrm {P} ,\ i\mathrm {Q} ,\ i\mathrm {R} ,\ldots$ sont des fonctions de $i$ qui deviennent nulles, par la nature même du développement, lorsque $i=0,$ il s’ensuit que, en considérant la courbe dont $i$ serait l’abscisse et l’une dè ces fonctions l’ordonnée, cette courbe coupera l’axe à l’origine des abscisses, et, à moins que ce point ne soit un point singulier, ce qui ne peut avoir lieu qiie pour des valeurs particulières de $x,$ comme il est facile de s’en convaincre avec un peu de réflexion et par un raisonnement analogue à celui du n^o 2, le cours de la courbe sera nécessairement continu depuis ce point ; donc elle s’approchera peu à peu de l’axe avant de le couper et s’en approchera, par conséquent, d’une quantité moindre qu’aucune quantité donnée, de sorte qu’on pourra toujours trouver une abscisse $i$ correspondant à une ordonnée moindre qu’une quantité donnée, et alors toute valeur plus petite de $i$ répondra aussi à des ordonnées moindres que la quantité donnée.

On pourra donc prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour que $i\mathrm {P}$ soit moindre que $f(x),$ ou pour que $i\mathrm {Q}$ soit moindre que $p,$ ou pour