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et qu’on la représente par $\psi (a,b),$ alors la solution se réduira à éliminer $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}}$ entre les deux équations

$\operatorname {F} \left[x,y,a,b,\psi (a,b)\right]=0,\quad \operatorname {F} [x,y,a,b,\psi (a,b)]'=0$

et les deux équations primes de celles-ci, prises relativement à $a$ et $b$ seuls, et divisées par $a',$ procédé analogue à celui du n^o 18.

21. En général, si l’on a une équation en $x,y$ et deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ que nous représenterons par

$f(x,y,a,b)=0,$

en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées

$f(x,y,a,b)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,a,b)''=0,$

on aura une équation du second ordre

$\mathrm {V} =0,$

qui appartiendra à toutes les courbes représentées par l’équation

$f(x,y,a,b)=0,$

en donnant à $a$ et $b$ des valeurs quelconques, et dont, par conséquent, celle-ci sera l’équation primitive complète.

Donc elle appartiendra aussi à la courbe ou aux courbes formées par toutes ces courbes, et qui les envelopperont de manière qu’elles aient avec chacune d’elles un contact du second ordre, c’est-à-dire dans lequel les $y,y'$ et $y''$ soient les mêmes. Mais, les quantités $a$ et $b$ étant constantes dans chaque courbe enveloppée et variables dans les courbes enveloppantes, pour que les $y,y'$ et $y''$ soient les mêmes dans les deux hypothèses, il faudra que les équations d’où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or, dans la supposition de $a$ et $b$ variables, l’équation

$f(x,y,a,b)=0$