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donne l’équation prime

$f(x,y,a,b)'+a'f'(a)+b'f'(b)=0\,;$

donc, pour que cette équation se réduise à

$f(x,y,a,b)'=0,$

comme dans le cas de $a$ et $b$ constantes, il faudra que l’on ait

$a'f'(a)+b'f'(b)=0.$

De la même manière, l’équation

$f(x,y,a,b)'=0$

donne, dans le cas de $a$ et $b$ variables, cette équation dérivée

$f(x,y,a,b)''+a'f'(a)'+b'f'(b)'=0,$

laquelle ne peut se réduire à

$f(x,y,a,b)''=0,$

comme dans le cas de $a$ et $b$ constantes, qu’en supposant

$a'f'(a)'+b'f'(b)'=0.$

Ayant ainsi les quatre équations

$f(x,y,a,b)=0,\quad f(x,y,a,b)'=0,$

$f'(a)\ +{\frac {b'}{a'}}f'(b)\ =0\quad {\text{et}}\quad f'(a)'+{\frac {b'}{a'}}f'(b)'=0,$

il n’y aura qu’à éliminer $a,b$ et ${\frac {b'}{a'}},$ et l’on aura une équation du premier ordre entre $x,y$ et $y',$ qui sera celle des courbes enveloppantes et qui sera en même temps l’équation primitive singulière de la même équation $\mathrm {V} =0.$

On voit par là comment la théorie des équations primitives singu-