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CHAPITRE VI.

De la mesure des aires et de la longueur des arcs dans les courbes planes. De la mesure des solidités et de celle des surfaces des conoïdes. Principe général de la solution analytique de ces questions.

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27. Je viens maintenant à la détermination des aires des courbes, qu’on appelle communément quadrature des courbes. Considérons, en général, la courbe représentée par l’équation

$y=f(x),$

$y$ étant l’ordonnée rectangulaire correspondante à l’abscisse $x,$ dont elle est une fonction donnée. L’espace terminé par cette courbe, par l’axe des abscisses et par une ordonnée quelconque $y$ sera donc aussi déterminé par une fonction de la même abscisse $x,$ que nous désignerons par $\operatorname {F} (x).$ Supposons que $x$ devienne $x+i$ cette fonction deviendra $\operatorname {F} (x+i),$ et il est clair que $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ sera alors la portion de l’espace correspondante à la partie $i$ de l’axe et terminée par les deux ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ répondantes aux abscisses $x$ et $x+i.$ Or, quelle que soit la courbe proposée, il est aisé de se convaincre, même sans figure, que, si les ordonnées vont en augmentant ou en diminuant depuis $f(x)$ jusqu’à $f(x+i),$ l’espace dont il s’agit sera, dans le premier cas, plus grand que l’espace rectangulaire $if(x)$ et moindre que l’espace rectangulaire $if(x+i),$ et, dans le second cas, plus grand que ce dernier et moindre que le premier. Donc il sera toujours nécessairement renfermé entre ces limites $if(x)$ et $if(x+i),$ lesquelles seront, par conséquent, les limites de la quantité $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ qui doit représenter ce même espace.