Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/233

Développons les fonctions $f(x+i)$ et $\operatorname {F} (x+i)$ suivant notre formule (n^o 40, 1^re Partie), et arrêtons-nous au premier terme pour la première et aux deux premiers pour la seconde ; on aura

$f(x+i)=f(x)+if'(x+j)$

et

$\operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$

où $j$ est une quantité indéterminée qui peut n’être pas la même pour les deux fonctions, mais qui doit toujours être renfermée entre les limites $o$ et $i.$ Il faudra donc que la fonction $\operatorname {F} (x)$ soit telle que la quantité $i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)$ soit renfermée entre les limites $if(x)$ et $if(x)+i^{2}f'(x+j),$ quelle que soit la valeur de $i,$ et par conséquent en prenant $i$ aussi petit qu’on voudra. Or, l’intervalle entre les deux limites étant $i^{2}f'(x+j),$ la différence de la quantité dont il s’agit et de l’une des limites, savoir

$i\left[\operatorname {F} '(x)-f(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$

devra être moindre que $i^{2}f'(x+j),$ abstraction faite des signes de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne peut avoir lieu pour une valeur de $i$ aussi petite qu’on voudra, à moins que le terme affecté de $i$ ne disparaisse ; car autrement on pourra toujours prendre $i$ tel que la première quantité soit plus grande que la seconde, puisqu’il suffira que $i$ soit plus petit que ${\frac {\operatorname {F} '(x)-f(x)}{f'(x+j)-{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)}}.$ On aura donc nécessairement

$\operatorname {F} '(x)=f(x),$

et cette condition suffira pour la détermination de la fonction $\operatorname {F} (x),$ puisque l’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primitive de $f(x).$

Donc, en général, la fonction prime de la fonction qui exprime l’aire d’une courbe par l’abscisse est la fonction qui représente l’or-