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$\operatorname {F} (x)$ du conoïde sera donnée par la fonction prime

$\operatorname {F} '(x)={\frac {1}{2}}\pi \left[f(x)\right]^{2},$

28. Le problème de la quadrature des courbes est, comme l’on voit, le problème le plus simple de l’analyse inverse des fonctions, puisqu’il ne consiste qu’à trouver la fonction primitive d’une fonction donnée. Nous avons indiqué dans la première Partie (chap. VIII) les moyens par lesquels on peut faciliter cette recherche ; nous ajouterons ici une observation essentielle.

Comme il est souvent avantageux de substituer d’autres variables à la place de celle qui entre dans la fonction, pour simplifier ou décomposer cette fonction en d’autres plus simples, il ne faudra pas oublier alors de multiplier la fonction dont il s’agit par la fonction prime de sa variable. En effet, nommant $u$ l’aire de la courbe dont $y$ est l’ordonnée, et regardant $y$ et $u$ comme fonctions de $x,$ nous venons de voir que l’on a $u'=y\,;$ mais, si l’on suppose $x$ fonction d’une autre variable, et qu’on désigne par $x'$ et $u'$ les fonctions primes de $x$ et $u$ prises relativement à cette nouvelle variable, il faudra substituer ${\frac {u'}{x'}}$ à la place de $u'$ (n^o 50, I^re Partie), ce qui donnera $u'=yx'\,;$ et ainsi des autres formules semblables.

Au reste, comme, suivant le Calcul différentiel, $u'$ est équivalent à ${\frac {du}{dx}},$ l’équation $u'=y$ donne

$du=ydx,$

et, intégrant,

$u=\int ydx,$

formule connue pour la quadrature des courbes.

29. Après le problème de la quadrature des courbes, se présente naturellement celui de leur rectification, c’est-à-dire de la détermination de la longueur même de la courbe.

Nous partirons, pour la solution de ce problème, du principe d’Archimède, adopté par tous les géomètres anciens et modernes, suivant