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lequel, deux lignes courbes ou composées de droites ayant leurs concavités tournées du même côté et les mêmes extrémités, celle qui renferme l’autre est la plus longue, d’où il suit qu’un arc de courbe tout concave du même côté est plus grand que sa corde et en même temps moindre que la somme des deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc et comprises entre ces extrémités et leur point d’intersection.

De là on peut tirer cette autre conséquence que la longueur du même arc se trouvera comprise entre celles des deux tangentes menées à ses deux extrémités et terminées aux deux ordonnées qui répondent à ses extrémités, prolongées, s’il le faut, au delà de la courbe.

En effet, ayant mené la corde qui joindra les deux extrémités de l’arc, il est aisé de voir que l’une des deux tangentes rencontrera les ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde et que l’autre les rencontrera sous un angle moins aigu, et que, par conséquent, la corde sera moindre que la première de ces tangentes et plus longue que la seconde ; donc celle-ci sera, à plus forte raison, moindre que l’arc de la courbe : De plus, si l’on considère les deux triangles opposés au sommet et formés par l’intersection des deux tangentes, il est visible que les deux parties de la première tangente seront respectivement plus longues que celles de la seconde, parce que les côtés formés par ces parties-là se trouvent opposés à des angles plus grands que les côtés formés par celles-ci. Donc la première tangente entière sera plus longue que la somme des deux portions de tangentes comprises entre leur point d’intersection et les extrémités de l’arc. Donc elle sera aussi plus longue que l’arc.

Cela posé, $f(x)$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $x,$ $f'(x)$ sera (n^o 7) la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la courbe à l’extrémité de cette ordonnée est inclinée à l’axe des abscisses ; par conséquent, $if'(x)$ era la partie de l’ordonnée $f(x+i),$ prolongée s’il est nécessaire, comprise entre la tangente et une parallèle à l’axe menée par l’extrémité de l’ordonnée $f(x)\,;$ donc

${\sqrt {i^{2}+\left[if'(x)\right]^{2}}}=i{\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}$