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sera la partie de cette tangente comprise entre les deux ordonnées, éloignées l’une de l’autre de l’intervalle $i.$ De la même manière, on aura $f'(x+i)$ pour la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la courbe à l’extrémité de l’ordonnée $f(x+i)$ est inclinée à l’axe, et l’on trouvera

$i{\sqrt {1+\left[f'(x+i)\right]^{2}}}$

pour la partie de cette tangente comprise entre les mêmes ordonnées $f(x)$ et $f(x+i).$

Soit, pour plus de simplicité,

$\varphi (x)={\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\,;$

on aura $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i)$ pour les deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc de la courbe compris entre les ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ et terminées, à ces mêmes ordonnées ; donc la longueur de cet arc devra être renfermée entre les deux quantités $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i),$ en donnant à $i$ une valeur aussi petite qu’on voudra. Donc, si $\Phi (x)$ est la fonction de $x$ qui exprime l’arc de la courbe, il faudra que la quantité $\Phi (x+i)-\Phi (x),$ expression de l’arc compris entre les ordonnées $f(x)$ et $f(x+i),$ soit comprise entre ces deux-ci, $i\varphi (x)$ et $i\varphi (x+i),$ quelque petit que soit $i,$ d’où, par un raisonnement semblable à celui du n^o 27, on conclura

$\Phi '(x)=\varphi (x).$

Donc, pour avoir la longueur indéfinie de la courbe, il faudra chercher la fonction primitive de la fonction $\varphi (x),$ ou ${\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}},$ et, comme on peut ajouter une constante arbitraire à la fonction primitive, il faudra déterminer cette constante de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse au point où l’on voudra le faire commencer.

Donc, si l’on nomme $s$ l’arc de la courbe dont les coordonnées sont $x$ et $y,$ on aura, en regardant $y$ et $s$ comme fonctions de $x,$ à cause de $f(x)=y,$ $f'(x)=y',$ l’équation

$s'={\sqrt {1+y'^{2}}},$