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que le cercle dont il s’agit ait un contact du premier ordre avec toute courbe à double courbure dont $x,y,z$ seront les coordonnées, $y$ et $z$ étant données en fonction de $x,$ et, si l’on y joint les deux dernières, on aura les conditions nécessaires pour un contact du second ordre, c’est-à-dire pour que le cercle devienne osculateur de la courbe.

Comme il y a dans ces équations six quantités indéterminées $a,b,$ $c,d,m$ et $n,$ on pourra satisfaire à toutes ces conditions, et le cercle osculateur sera déterminé de grandeur et de position. Mais, si l’on ne demande qu’un cercle tangent, il restera deux indéterminées pour lesquelles on pourra prendre le rayon $d$ et une des deux quantités $m$ et $n.$ Dans ce cas donc, l’équation

$x-a+y'(y-b)+z'(z-c)=0$

déterminera le plan dans lequel se trouveront les centres de tous les cercles qui peuvent être tangents, et, comme le rayon du cercle tangent est nécessairement perpendiculaire à la courbe, cette équation sera celle d’un plan perpendiculaire à la courbe, en prenant $a,b,c$ pour les coordonnées du plan.

Considérons maintenant le contact du second ordre. Les trois premières équations donneront

$x-a={\frac {(ny'-mz')d}{\mathrm {R} }},\quad y-b={\frac {(n-z')d}{\mathrm {R} }},\quad z-c={\frac {(m-y')d}{\mathrm {R} }},$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {R} ={\sqrt {(ny'-mz')^{2}+(n-z')^{2}+(m-y')^{2}}}.$

Ces valeurs étant substituées dans la cinquième équation, on en tirera

$d={\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)\mathrm {R} }{(n-z')y''-(m-y')z''}}.$

Enfin, la quatrième et la sixième équation donneront

$m={\frac {z''}{z'y''-y'z''}},\quad n=-{\frac {y''}{z'y''-y'z''}},$

valeurs qu’on substituera dans les expressions précédentes.