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On trouvera d’abord, après quelques réductions,

$\mathrm {R} ={\frac {{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}{\sqrt {y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}}{z'y''-y'z''}},$

et de là

${\begin{aligned}d=&-\ \ {\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}},\\a=&x-{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)(y'y''+z'z'')}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}},\\b=&y+{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)\left[y''+z'(z'y''-y'z'')\right]}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}},\\c=&z+{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)\left[z''-y'(z'y''-y'z'')\right]}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}.\end{aligned}}$

La quantité $d$ sera le rayon osculateur de la courbe proposée et les quantités $a,b,c$ seront les coordonnées de la courbe des centres de tous les cercles osculateurs ; mais cette courbe ne sera pas pour cela une développée, comme dans les courbes à simple courbure.

35. Pour s’en assurer et trouver en même temps les conditions nécessaires pour qu’elle devienne une développée de la courbe à double courbure, il n’y a qu’à employer des considérations semblables à celles du n^o 23.

Reprenons les valeurs de $a,b,c$ tirées des trois premières équations nous aurons

${\begin{aligned}a=&x-{\frac {(ny'-mz')d}{\mathrm {R} }},\\b=&y+{\frac {(n-z')d}{\mathrm {R} }},\\c=&z-{\frac {(m-y')d}{\mathrm {R} }}\end{aligned}}$

Ces expressions, en regardant les quantités $x,y,z,y',z',$ ainsi que $m$ et $n,$ comme constantes, et la quantité $d$ comme seule variable, donnent les coordonnées de la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur ; mais, en regardant toutes ces quantités comme variables