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et $m,n,d$ comme données en $x,$ puisque $y$ et $z$ sont censées données en $x,$ ces mêmes expressions représentent alors les coordonnées de la courbe des centres : Or, pour que la même droite devienne tangente de cette courbe, il faut que les valeurs de ${\frac {b'}{a'}}$ et ${\frac {c'}{a'}},$ en regardant $b$ et $c$ comme fonctions de $a,$ ou, en général, $a,b,c$ comme fonctions d’une autre variable quelconque, soient les mêmes dans les deux cas. Donc les valeurs de ${\frac {a'}{d'}},{\frac {b'}{d'}},{\frac {c'}{d'}}$ devront être aussi les mêmes, soit que les quantités $a,b,c,d$ soient seules variables, soit que les quantités $x,y,$ $z,m$ et $n$ varient aussi en même temps ; par conséquent, il faudra que les équations qui déterminent ces valeurs aient lieu également dans les deux hypothèses.

Or, si l’on considère les équations qui ont servi à déterminer les quantités $a,b,c,d,m$ et $n$ en $x,y,y',y'',$ et qu’on regarde toutes ces quantités comme variables à la fois, il est clair que les deux équations

${\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=&d^{2},\\x-a+y'(y-b)+z'(z-c)=&0\end{aligned}}$

emporteront encore celle-ci,

$-a'(x-a)-b'(y-b)-c'(z-c)=dd',$

qui n’est que l’équation prime de la première, en supposant $a,b,c,d$ seules variables. De même les deux équations

${\begin{aligned}x-a+y'\ (y-b)+z'\ (z-c)=&0,\\1+y'^{2}+z'^{2}+y''(y-b)+z''(z-c)=&0\end{aligned}}$

emporteront celle-ci,

$a'+y'b'+z'c'=0,$

qui est également l’équation prime de la première, en ne prenant que $a,b,c$ pour variables. Ces deux équations ont donc la condition demandée mais, comme elles ne suffisent pas pour la détermination des trois quantités ${\frac {a'}{d'}},{\frac {b'}{d'}},{\frac {c'}{d'}},$ il faudra trouver, de la même manière, une