Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/252

---

CHAPITRE VIII.

Des surfaces courbes et de leurs plans tangents. Théorie du contact des surfaces courbes. Des contacts des différents ordres.

---

38. Les surfaces courbes se déterminent aussi par trois coordonnées rectangulaires, comme les lignes à double courbure, mais avec cette différence que, pour les surfaces, deux des coordonnées sont indépendantes entre elles et la troisième est fonction de ces deux, de sorte qu’une surface n’est représentée que par une seule équation entre les trois coordonnées. Ainsi, les deux équations qui déterminent une courbe à double courbure représentent chacune en particulier une surface courbe, et la courbe représentée par le système de ces deux équations est formée par l’intersection des deux surfaces. La théorie des surfaces dépend donc de l’analyse des fonctions de deux variables, et peut être traitée comme la théorie des courbes et par les mêmes principes. Ainsi, de même qu’une ligne droite peut être tangente d’une courbe, un plan peut être tangent d’une surface, et l’on déterminera le plan tangent par la condition qu’aucun autre plan ne puisse être mené par le point de contact entre celui-là et la surface.

Soient $x,y,z$ les trois coordonnées de la surface donnée et $p,q,r$ les coordonnées du plan tangent rapportées aux mêmes axes rectangulaires on aura, par la nature de la surface,

$z=f(x,y),$

et, par la nature du plan,

$r=a+bp+cq,$

$a,b,c$ étant les trois constantes qui déterminent la position du plan.