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D’abord, pour que le plan ait avec la surface un point commun, il faut que son équation subsiste, en supposant que les coordonnées $p,$ $q,r$ deviennent $x,y,z,$ ce qui donnera cette première équation :

$z=a+bx+cy.$

Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnées $x+i,\ y+o\,;$ l’ordonnée perpendiculaire $z$ deviendra $f(x+i,y+o).$ Faisons aussi, dans l’équation du plan,

$p=x+i,\quad q=y+o\,;$

l’ordonnée perpendiculaire $r$ deviendra

$a+b(x+i)+c(y+o),$

et la distance entre les points correspondants de la surface et du plan sera exprimée par

$f(x+i,y+o)-a-b(x+i)-c(y+o).$

La fonction $f(x+i,y+o)$ peut se développer dans cette série (n^o 73, I^re Partie)

$f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots .$

Donc, à cause de

$f(x,y)=z=a+bx+cy,$

la distance dont il s’agit, que nous désignerons par $\mathrm {D} ,$ sera exprimée ainsi :

$\mathrm {D} =i\left[f'(x,y)-b\right]+o\left[f_{_{'}}(x,y)-c\right]+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots ,$

où l’on voit d’abord que, les quantités $i$ et $o$ demeurant indéterminées, la valeur de $\mathrm {D}$ deviendra la plus petite si l’on détermine les quantités $b$ et $c$ de manière que les termes multipliés par $i$ et $o$ disparaissent, ce