Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/267

rier que $d,$

${\begin{aligned}a'=&\quad \ {\frac {d'z'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\b'=&\quad \ {\frac {d'.z_{_{'}}}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\\c'=&-{\frac {d'}{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=d'^{2},$

et par conséquent

$d'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}},$

d’où l’on conclura (n^o 37) que la quantité $d$ sera égale à l’arc de la courbe dont $a,b,c$ sont les coordonnées. Ainsi cette courbe sera la véritable développée des lignes de plus grande et de moindre courbure, et réciproquement il n’y aura, sur une surface quelconque, que ces lignes qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.

Ces propriétés des surfaces sont très-curieuses et méritent toute l’attention des géomètres ; elles donnent lieu surtout à des applications importantes pour les arts. Voir les Mémoires de Berlin pour l’année 1760, les Tomes IX et X des Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, et l’Application de l’Analyse à la Géométrie, par M. Monge.

Au reste, pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il n’y aura qu’à changer $y',y''$ en ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ et $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}}$ en ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ ${\frac {d^{2}z}{dxdy}},{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}.$