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CHAPITRE X.

Solution des questions dans lesquelles on propose une relation entre les éléments du contact du premier ordre des surfaces courbes. Construction de cette solution. Équation des surfaces développables.

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47. On peut proposer, sur les différents contacts des surfaces, des problèmes analogues à ceux qui nous ont occupés, relativement aux lignes courbes (Chap. III), et les résoudre par des principes semblables. Nous nous contenterons ici de considérer les contacts du premier ordre.

Suivant les formules du n^o 41, si l’équation

$\operatorname {F} (p,q,r)=0$

de la surface donnée contient trois constantes arbitraires $a,b,c$ pour que cette surface ait un contact du premier ordre avec une surface quelconque rapportée aux coordonnées $x,y,z,$ il faut déterminer $a,b,c$ en $x,y,z$ par les trois équations

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{'}}(x,y,z)=0,$

dont les deux dernières se réduisent à la forme

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}F'(z)=0.$

Donc, si la question est de trouver la surface pour laquelle les trois éléments du contact $a,b,c$ auront entre eux une relation déterminée, il faudra substituer, dans l’équation qui exprime cette relation, les valeurs de $a,b,c,$ et, si cette équation est entre les quantités $a,b,c$ et $x,y,z,$ on aura une équation du premier ordre en $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}},$