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de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi, en désignant par $\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c)$ les fonctions primes de la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement aux seules quantités $a,b,c$ considérées séparément, on aura encore ces deux équations primes :

${\begin{aligned}a'\,\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\,\operatorname {F} '(c)=&0,\\a_{_{'}}\operatorname {F} '(a)+b_{_{'}}\operatorname {F} '(b)+c_{_{'}}\operatorname {F} '(c)=&0.\end{aligned}}$

Soit

$c=f(a,b)$

l’équation qui exprime la relation donnée entre les quantités $a,b,c$ en prenant de même les deux équations primes, on aura

${\begin{aligned}c'=&a'f'(a)+b'f''(b),\\c_{_{'}}=&a_{_{'}}f'(a)+b_{_{'}}f'(b),\end{aligned}}$

$f'(a)$ et $f'(b)$ étant les deux fonctions primes de $f(a,b)$ prises relativement à $a$ et $b$ isolées. Substituant ces valeurs de $c'$ et $c_{_{'}}$ dans les deux équations précédentes, on aura

${\begin{aligned}a'\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b'\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\\a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire cette équation

$a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,$

où la fonction désignée par la caractéristique $f$ n’entre plus.

Si donc on substitue dans cette équation $a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0$ les valeurs de $a,b$ en $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ on aura une équation du second ordre, dont l’équation primitive du premier ordre sera

$c=f(a,b),$

la fonction désignée par $f$ étant arbitraire ; et l’équation primitive de celle-ci entre $x,y,z$ sera le système de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

et de son équation prime, prise relativement à $a,$ après y avoir substi-