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tué $f(a,b)$ pour $c$ et $\varphi (a)$ pour $b,$ la fonction $\varphi (a)$ étant la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra, de cette manière, trouver l’équation primitive de toute équation du second ordre réductible à la forme

$a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,$

les quantités $a,b$ étant déduites d’une équation quelconque

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b,c)=0$

entre les quantités $x,y,z,a,b,c$ et de ses deux équations primes prises dans l’hypothèse de $a,b,c$ constantes, ce qui fournit une méthode importante pour les progrès de l’analyse inverse des fonctions de deux variables.

50. Appliquons la théorie précédente aux plans tangents. Nous avons trouvé plus haut que les éléments $a,b,c$ du contact d’un plan représenté par l’équation

$r=a+bp+cq,$

sont exprimés ainsi :

$a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}}.$

Donc, si l’on a une équation quelconque entre ces trois quantités, laquelle donne, par exemple,

$c=f(a,b),$

l’équation primitive de cette équation du premier ordre sera représentée par le système de ces deux équations,

$z=a+x\varphi (a)+yf\left[a,\varphi (a)\right],$

$1+x\varphi '(a)+yf'(a)=0,$

en dénotant par $\varphi '(a)$ et $f'(a)$ les fonctions primes de $\varphi (a)$ et de $f\left[a,\varphi (a)\right]$ relatives à $a.$ La quantité $a$ devra être éliminée pour avoir une équation en $x,y,z,$ et la fonction $\varphi (a)$ sera la fonction arbitraire.