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Cette équation sera donc celle de la surface formée par l’intersection continuelle de tous les plans représentés par l’équation

$z=a+x\varphi (a)+yf\left[a,\varphi (a)\right],$

en faisant varier successivement le paramètre $a\,;$ ce sera, par conséquent, une surface développable, puisqu’on peut concevoir que le même plan tangent, supposé flexible et inextensible, s’applique et se plie sur la surface, sans duplicature ni solution de continuité, et, réciproquement, que la surface s’applique et se développe sur le même plan sans se briser ou se replier.

Puisque $a=z-xz'-yz_{_{'}}$ et $b=z',$ on aura

$a'=-xz''-yz'_{_{'}},\quad a_{_{'}}=-xz'_{_{'}}-yz_{_{''}},\quad b'=z'',\quad b_{_{'}}=z'_{_{'}}\,;$

donc l’équation (n^o 49)

$a'b_{_{'}}-a_{_{'}}b'=0$

deviendra

$\left(xz''+yz'_{_{'}}\right)z'_{_{'}}-\left(xz'_{_{'}}+yz_{_{''}}\right)z''=0,$

savoir

$z_{_{'}}^{'2}-z''z_{_{''}}=0.$

Ce sera l’équation générale des surfaces développables, dont, par conséquent, l’équation primitive sera le système de ces deux-ci,

$z=a+x\varphi (a)+yf(a)\quad {\text{et}}\quad 1+a\varphi '(a)+yf'(a)=0,$

$\varphi (a)$ et $f(a)$ dénotant deux fonctions arbitraires de $a.$ Voir le Tome X des Novi Commentarii de Pétersbourg et les Ouvrages déjà cités à la fin du Chapitre précédent.