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CHAPITRE XI.

Des plus grandes et des moindres ordonnées des surfaces courbes. Solution générale des questions de maximis et minimis. Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions de plusieurs variables.

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51. Si l’on demande les plus grandes et les moindres ordonnées d’une surface donnée, il est aisé de concevoir qu’elles ne peuvent répondre qu’aux points où le plan tangent devient parallèle au plan des $x$ et $y\,;$ donc on aura, dans ces points, $\operatorname {tang} \alpha =0,$ et, par conséquent (n^o 39),

$z'^{2}+z_{_{'}}^{2}=0,$

ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant à la fois

$z'=0\quad {\text{et}}\quad z_{_{'}}=0.$

Ce sont là les conditions nécessaires pour que l’ordonnée $z$ devienne un maximum ou un minimum.

Puisque $z$ peut représenter une fonction quelconque de $x$ et $y,$ on en conclura, en général, que, pour qu’une fonction de deux variables devienne un maximum ou un minimum, il faut que ses deux fonctions primes relatives à chacune de ces variables soient nulles.

Mais on peut parvenir directement à cette conclusion par la considération des fonctions d’une seule variable, suivant la théorie du n^o 24, et trouver en même temps les conditions nécessaires pour que le maximum ou minimum ait lieu. En effet, $z$ étant fonction de $x$ et $y,$ on peut supposer d’abord $x$ donné et chercher le maximum ou minimum de $z$ relativement à $y\,;$ on aura pour cela l’équation

$z_{_{'}}=0,$