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soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à $p,q,r,\ldots$ des valeurs quelconques aussi petites qu’on voudra. D’où l’on conclura d’abord, par un raisonnement analogue à celui du n^o 25, que cette condition ne pourra être remplie, à moins que les termes multipliés par les premières puissances de $p,q,r,\ldots$ ne soient nuls chacun en particulier, ce qui donnera les équations

$f'(x)=0,\quad f'(y)=0,\quad f'(z)=0,\quad f'(u)=0,\quad \ldots ,$

qui sont communes au maximum et au minimum, et qui, étant en même nombre que les indéterminées $x,y,z,u,\ldots ,$ serviront à déterminer leurs valeurs.

55. Mais, pour que ces valeurs donnent, en effet, un maximum ou un minimum, il faudra encore que la quantité restante

${\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+prf''(x,z)+qrf''(y,z)$

$+{\frac {1}{2}}r^{2}f''(z)+\ldots .$

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, quelles que soient les valeurs de $p,q,r,\ldots$ et quelque petites qu’elles puissent être.

Comme les fonctions $f''(x),f''(x,y),\ldots$ qui multiplient les carrés et les produits des quantités $p,q,r,\ldots$ renferment elles-mêmes ces quantités, il pourrait être difficile, et peut-être impossible, de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s’agit ait lieu rigoureusement ; mais j’observe que, si l’on suppose $\lambda =0,$ ces fonctions deviennent indépendantes de $p,q,r,\ldots$ et ont des valeurs déterminées, et l’on trouve alors, comme on le verra dans un moment, des conditions entre ces mêmes fonctions qui ne consistent que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités, étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de $x,y,z,\ldots ,$ auront lieu encore pour les valeurs peu différentes $x+\lambda p,$ $y+\lambda q,\ z+\lambda r,\ldots$ tant que les quantités $\lambda p,\lambda q,\lambda r,\ldots$ ne passeront pas certaines limites, qui pourront être aussi peu étendues qu’on voudra. Donc, puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum