et la question consiste à trouver la valeur de en qui rendra cette fonction un maximum ou minimum. Si les deux quantités et étaient indépendantes l’une de l’autre, on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables ; mais, comme ces quantités dérivent l’une de l’autre et que leur relation demeure inconnue tant que l’une d’elles n’est pas une fonction déterminée de on ne peut chercher le maximum ou minimum que par rapport à l’une de ces quantités, et il est naturel de prendre pour variable la quantité qui détermine la position de la tangente, en regardant les coordonnées et comme données pour chaque point de la courbe.
On prendra donc les fonctions primes et secondes de la fonction proposée relativement à la quantité regardée comme seule variable, et, égalant à zéro la fonction prime, on aura sur-le-champ l’écluation
+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdf8b26b217862e3994baad14778cd6206b7dca)
laquelle donne, comme dans le numéro cité,
pour l’équation de la courbe cherchée.
Ensuite on aura la fonction seconde
laquelle fait voir que le maximum aura lieu dans toute la partie de la courbe pour laquelle les deux quantités et seront de signes différents, et que le minimum aura lieu pour la partie où et seront de même signe ; de sorte que le maximum aura lieu pour toutes les valeurs de comprises entre les limites et et le minimum pour les valeurs de qui tomberont hors de ces limites.
L’équation trouvée pour la courbe étant du premier ordre, elle est susceptible d’une équation primitive avec une constante arbitraire, et, si on la met sous la forme
