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on en déduira sur-le-champ cette équation primitive,

$2\log y=\log(x-m)+\log(x-n)+\log h,$

et, passant des logarithmes aux nombres,

$y^{2}=h(x-m)(x-n),$

où $h$ est une constante arbitraire. Cette équation est de la même forme que celle que nous avons trouvée dans l’endroit cité, ce qui doit être, puisqu’elles viennent l’une et l’autre de la même équation du premier ordre. En effet, l’équation trouvée ci-dessus pour le maximum ou minimum, étant multipliée par $y'',$ a pour équation primitive

$\left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right]=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante arbitraire, et celle-ci, combinée avec la même équation pour en éliminer $y',$ donnera le résultat trouvé dans le même endroit.

Donc, rapprochant cette solution de celle du n^o 15, on en conclura, en général, que les sections coniques ont non-seulement la propriété, déjà trouvée, que chaque tangente coupe sur les perpendiculaires élevées aux deux extrémités de l’axe des parties dont le produit est constant, mais encore celle-ci, que la position de la tangente à chaque point de la courbe, regardé comme donné, est telle que ce même produit est un maximum pour l’ellipse et un minimum ou plutôt un maximum négatif pour l’hyperbole.

60. En général, si l’on demande la courbe dans laquelle une fonction donnée de $x,y,y',y'',\ldots$ sera un maximum ou minimum, on pourra chercher le maximum ou minimum relativement à chacune des quantités $y,y',y'',\ldots ,$ ce qui donnera autant de solutions différentes, et l’on aura toujours, généralement parlant, pour la courbe cherchée, une équation du même ordre que la fonction proposée.

Si cette fonction était une simple fonction des éléments $a,b,c,\ldots$ du contact (n^o 10), en cherchant le maximum ou minimum relative-