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égale à $10,$ parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’Analyse on préfère, comme plus simple, le système dont la base est le nombre $e\,;$ c’est le système des logarithmes de Neper, qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques, parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique $\operatorname {l} .$ Ainsi on a $\mathrm {A} =\operatorname {l} a\,;$ par conséquent, la fonction prime de la fonction $a^{x}$ est exprimée par $a^{x}\operatorname {l} a$ (numéro précédent).

Au reste, comme $a=e^{\mathrm {A} },$ on aura $a=e^{\operatorname {l} a},$ et par conséquent $a^{x}=e^{x\operatorname {l} a},$ moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base $e$.

13. Soit donc, en troisième lieu, $f(x)=\log x\,;$ on aura, par la nature des logarithmes, $x=a^{f(x)}.$ Or, $x$ devenant $x+i,$ $f(x)$ devient

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .$

Faisant, pour abréger, $o=if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$ l’équation $x=a^{f(x)}$ deviendra, en y mettant $x+i$ pour $x$ et $f(x)+o$ pour $f(x),$

$x+i=a^{f(x)+o}=a^{f(x)}.a^{o},$

et, divisant cette équation par la précédente, on aura

$1+{\frac {i}{x}}=a^{o}=1+\mathrm {A} o+{\frac {\mathrm {A} ^{2}o^{2}}{2}}+\ldots \quad$(numéro précédent).

Effaçant l’unité de part et d’autre, et divisant par $i,$ après avoir substitué la valeur de $o,$ on aura, en ordonnant suivant les puissances de $i,$

${\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x)+{\frac {i}{2}}\left[\mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)\right]+\ldots .$

La quantité $i$ étant et devant demeurer indéterminée, il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité ; par conséquent, tous les termes affectés d’une même puissance de $i$ devront