la seconde par un coefficient indéterminé indépendant de c’est-à-dire le maximum ou minimum de la fonction primitive de
en regardant comme une quantité constante. De cette manière, on aura d’abord l’équation
![{\displaystyle f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots +\Delta \varphi '(y)-\Delta \left[\varphi '(y')\right]'+\Delta \left[\varphi '(y'')\right]''-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b78102b457f2a660108fc15fb51d92feccfe2e)
et l’on déterminera la constante de manière que la fonction primitive de prise depuis jusqu’à soit donnée ; et ainsi du reste.
73. Les problèmes de la brachistochrone et des isopérimèlres, proposés et résolus d’abord par les deux frères Bernoulli, ont ouvert la route pour traiter ce nouveau genre de questions de maximis et minimis. On a trouvé ensuite successivement des méthodes plus générales et plus simples, et l’on est parvenu enfin au Calcul des variations, qui paraît ne rien laisser à désirer sur ce sujet. Comme les équations trouvées plus haut (nos 62, 70) sont les mêmes, à la notation près, que celles qui résultent de ce Calcul, nous pourrions nous dispenser de les appliquer à des exemples ; mais il ne sera pas inutile de montrer encore, par un exemple connu, l’usage des règles pour distinguer les maxima et minima, et s’assurer de leur existence.
Nous reprendrons pour cela le problème de la brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente, à cause de sa célébrité ; il consiste, comme l’on sait, à trouver la courbe le long de laquelle un corps pesant descendrait dans le moindre temps d’un point donné à un autre point donné et placé dans une verticale différente. Comme, par les principe de la Mécanique, la fonction prime du temps est égale à la fonction prime de l’espace divisée par la vitesse, et que, dans les corps qui tombent par la pesanteur, la vitesse est toujours proportionnelle à la racine carrée de la hauteur d’où ils sont censés être descendus, si l’on rapporte aux trois coordonnées rectangulaires la courbe décrite
