Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/308

par le corps, et qu’on prenne les abscisses $x$ verticales, la vitesse sera proportionnelle à ${\sqrt {h+x}}$ et ${\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}$ sera la fonction prime de l’arc de la courbe (n^o 37) ; ainsi ${\frac {\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}{\sqrt {h+x}}}$ sera proportionnelle à la fonction prime du temps, dont la fonction primitive devra être un minimum. On aura donc

$f(x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )={\frac {\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}{\sqrt {h+x}}}\,;$

donc, prenant les fonctions primes, on aura

${\begin{alignedat}{2}f'(y)=&0,\qquad &f'(y')=&{\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}},\\f'(z)=&0,&f'(z')=&{\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}},\end{alignedat}}$

et l’on aura (n^o 70) Les deux équations

${\begin{aligned}\left({\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}\right)'=0,\\\left({\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}\right)'=0.\end{aligned}}$

lesquelles donnent d’abord ces deux-ci du premier ordre,

${\begin{aligned}{\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}=m,\\{\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}=n,\end{aligned}}$

$m$ et $n$ étant deux constantes arbitraires.

En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on a ${\frac {y'}{z'}}={\frac {m}{n}}\,;$ donc $z'={\frac {ny'}{m}},$ et, prenant l’équation primitive, on aura

$z={\frac {ny}{m}}+l,$