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$l$ étant une nouvelle constante arbitraire. Cette équation étant à un plan vertical, puisque l’abscisse verticale $x$ ne s’y trouve pas, fait voir que la courbe cherchée est toute dans ce plan ; ainsi, en prenant l’axe des $y$ dans ce même plan, on pourra supposer $z=0,$ en faisant $l$ et $n=0,$ et l’on aura pour la courbe cette équation unique entre les coordonnées $x$ et $y,$

${\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}=m,$

d’où l’on tire

$y'={\frac {m{\sqrt {h+x}}}{\sqrt {1-m^{2}(h+x)}}},$

équation à la cycloïde, les abscisses $x$ étant prises sur le diamètre du cercle générateur et les ordonnées $y$ perpendiculairement à ce diamètre.

Puisqu’on suppose que les deux points extrêmes de la courbe sont donnés, les quantités $\omega$ et $\zeta$ répondant à ces points seront nulles, et les valeurs des quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront nulles aussi en prenant $a$ et $b$ pour les valeurs de $x$ qui répondent à ces points ; ainsi la condition $\mathrm {B-A} =0$ sera remplie. Si l’on faisait d’autres hypothèses relativement à ces points, on trouverait d’autres résultats ; nous ne nous y arrêterons pas, parce que ces différentes questions ont été déjà discutées et résolues par les principes du Calcul des variations. Mais il faut voir ce que donnent les termes où les quantités $\omega$ et $\zeta$ monteront à la seconde dimension et dont la fonction primitive doit être positive pour que le minimum ait effectivement lieu.

Comme la fonction prohosée $f(x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )$ ne contient point, dans le cas présent, les variables $y$ et $z,$ mais seulement leurs fonctions primes $y'$ et $z',$ il est facile de voir que les termes dont il s’agit seront simplement de la forme

${\frac {1}{2}}\omega '^{2}f''(y')+\omega '\zeta 'f''(y',z')+{\frac {1}{2}}\zeta '^{2}f''(z'),$

et l’on trouve, en prenant les fonctions primes des quantités $f'(y')$ et