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se détruire d’eux-mêmes et former autant d’équations à part. On aura donc ainsi

${\frac {1}{x}}=\mathrm {A} f'(x),\quad \mathrm {A} f''(x)+\mathrm {A} ^{2}f'^{2}(x)=0,$

et ainsi de suite.

Donc, $f(x)$ étant égal à $\log x,$ on aura, en général,

$f(x)={\frac {1}{\mathrm {A} x}}={\frac {1}{x\operatorname {l} a}},$

et de là, par la formule générale du n^o 10, on tirera

$f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\operatorname {l} a}},\quad f'''(x)={\frac {2}{x^{3}\operatorname {l} a}},\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=-{\frac {2.3}{x^{4}\operatorname {l} a}},\quad \ldots ,$

valeurs qui satisfont, comme l’on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la série $f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$ on aura sur-le-champ

$\log(x+i)=\log x+{\frac {i}{x\operatorname {l} a}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}\operatorname {l} a}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}\operatorname {l} a}}-\ldots .$

Faisant $x=1$ et changeant $i$ en $x,$ on aura la formule connue

$\log(1+x)={\cfrac {x-{\cfrac {x^{2}}{2}}+{\cfrac {x^{3}}{3}}-\ldots }{\operatorname {l} a}}.$

Pour les logarithmes hyperboliques où $\operatorname {l} e=1,$ on aura simplement

$f(x)=\operatorname {l} x,\quad f'(x)={\frac {1}{x}},\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad \ldots .$

14. Lés sinus et cosinus d’angles considérés analytiquementne sont que des expressions composées d’exponentielles imaginaires ; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.

Soit donc, en quatrième lieu, $f(x)=\sin x\,;$ comme on a

$\sin x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},$