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CHAPITRE XIV.

De la mesure des solidités et des surfaces des corps de figure donnée.

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77. Nous avons donné, dans le Chapitre VI, la manière d’exprimer par les fonctions les solidités et les surfaces des conoïdes formés par la révolution d’une courbe donnée autour d’un axe ; il nous reste à étendre cette analyse à tous les corps dont la surface est exprimée par une équation entre ses trois coordonnées.

Considérons d’abord un solide dont la surface soit exprimée par l’équation

$z=f(x,y)\,;$

son volume ou sa solidité sera exprimée en général par une fonction de $x$ et $y,$ que nous dénoterons par $\operatorname {F} (x,y).$ Désignons aussi par $\varphi (x,y)$ la fonction de $x,y$ qui exprime l’aire de la section de ce solide faite perpendiculairement à l’axe des $x$ et correspondante à l’abscisse $x\,;$ donc, en regardant $y$ comme un paramètre constant, et ne faisant varier que $x,$ on aura, par le n^o 27, l’équation

$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y).$

Or la section, dont $\varphi (x,y)$ est l’aire, est une courbe dont les abscisses sont $y$ et les ordonnées perpendiculaires sont $z,$ et dont l’équation est

$z=f(x,y),$

en regardant maintenant $x$ comme un paramètre constant qui ne varie que d’une section à l’autre. Donc, en prenant $z$ à la place de $y$ et $y$ à