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la place de $x,$ on aura (numéro cité)

$f(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),$

l’accent mis au bas de la caractéristique $\varphi$ dénotant la fonction dérivée par rapport à $y,$ comme nous l’avons pratiqué jusqu’à présent.

On a donc les deux équations

$\operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi _{_{'}}(x,y)=f(x,y),$

d’où, éliminant la fonction marquée par $\varphi _{_{'}}(x,y)$ après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à $y$ de la première équation, on aura

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y).$

Ainsi, pour avoir la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l’équation

$z=f(x,y),$

il faudra prendre la double fonction primitive de $f(x,y)$ relativement à $x$ et à $y.$

78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque $\operatorname {F} (x,y)$ représente en général la partie du corps qui répond aux coordonnées $x,y,$ il est clair que $\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y)$ sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des $x,y$ qui répondent aux abscisses $x$ et $x+i$ et qui sont terminés par la même ordonnée $y.$ Donc

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)+\operatorname {F} (x,y)$

sera l’excès du segment qui est terminé par l’ordonnée $y+o$ sur celui qui est terminé par l’ordonnée $y$ et il est visible que cette différence n’est autre chose qu’un prisme dont la base est le rectangle $io,$ dont les arêtes sont les ordonnées $z$ de la surface qui répondent aux quatre angles de ce rectangle, c’est-à-dire les ordonnées $f(x,y),\ f(x+i,y),\ f(x,y+o),$ $f(x+i,y+o),$ et dont la base supérieure