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on fera

$f(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$

et l’on aura (n^o 12), en mettant $\pm {\sqrt {-1}}$ au lieu de $m$ dans $e^{mx},$

$f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}=\cos x.$

De même, en faisant

$f(x)=\cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},$

on trouvera

$f'(x)={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}{\sqrt {-1}}=-\sin x.$

Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions $\sin x,\ \cos x,$ on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.

En effet, puisque $f(x)=\sin x$ a donné $f'(x)=cosx$ et que $f(x)=cosx$ a donné $f'(x)=-\sin x,$ on aura, pour $f(x)=\sin x,$

$f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f'''(x)=-\cos x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\sin x,\quad \ldots ,$

et, pour $f(x)=cosx,$ on aura

$f'(x')=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)=\cos x,\quad \ldots .$

D’après ces formules, on aura sur-le-champ les séries

${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\cos x-{\frac {i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {i^{3}}{2.3}}\cos x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\sin x+\ldots ,\\\cos(x+i)=&\cos x-i\sin x-{\frac {i^{2}}{2}}\cos x+{\frac {i^{3}}{2.3}}\sin x+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}\cos x-\ldots ,\end{aligned}}$

d’où, en faisant $x=0$ et changeant $i$ en $x,$ on tire les séries connues

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\quad \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}-\ldots .$

15. Les fonctions $x^{m},\ a^{x},\ \operatorname {l} x,\ \sin x,\ \cos x$ que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques