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$x',x'',$ d’où il faudra tirer l’équation primitive en $t,$ en $x$ par les règles de l’analyse inverse des fonctions, et l’on déterminera les deux constantes arbitraires qui entreront dans cette équation par les valeurs données de $x$ et $x'$ dans un instant donné, c’est-à-dire par l’espace et la vitesse, qu’on suppose connus dans cet instant.

Dans le mouvement uniforme représenté par l’équation $x=at,$ on aura donc

$x'=a,\quad x''=0\,;$

ainsi le coefficient $a,$ rapport de l’espace parcouru au temps, exprimera la vitesse, et la force accélératrice sera nulle. Dans le mouvement uniformément accéléré et représenté par $x=bt^{2},$ on aura

$x'=2bt\quad {\text{et}}\quad x''=2b.$

Donc la vitesse, dans un instant quelconque, est proportionnelle au temps écoulé depuis l’origine du mouvement. Le rapport entre la vitesse et le temps exprime la force accélératrice et est double du rapport entre l’espace parcouru et le carré du temps. L’augmentation continuelle et uniforme de la vitesse dans cette espèce de mouvement lui a fait donner le nom de mouvement uniformément accéléré.

Ce qu’il y a de plus simple et de plus naturel pour comparer les forces accélératrices, c’est de prendre la force de la gravité dans un lieu donné pour l’unité. Ainsi l’on aura, pour les corps pesants,

$2b=1\quad {\text{et}}\quad b={\frac {1}{2}}\,;$

donc

$x={\frac {t^{2}}{2}},\quad x'=t={\sqrt {2x}}\,;$

de sorte qu’on peut déterminer la vitesse par la racine carrée du double de la hauteur d’où un corps pesant doit tomber pour acquérir cette vitesse. Par conséquent, si l’on veut prendre une vitesse donnée pour l’unité des vitesses, il faudra alors prendre, pour l’unité des espaces, le double de la hauteur nécessaire pour la produire.