Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/340

Supposons d’abord que les trois mouvements relatifs aux axes des $x,y,z$ soient uniformes on aura

$x=at,\quad y=bt,\quad z=ct,$

$a,b,c$ étant les vitesses de ces mouvements. Éliminant $t,$ on aura

$y={\frac {bx}{a}}\quad {\text{et}}\quad z={\frac {cx}{a}},$

deux équations qui appartiennent à une ligne droite passant par l’origine des coordonnées, et dont les projections sur les plans des $xy$ et des $xz$ font, avec l’axe des $x,$ des angles dont ${\frac {b}{a}}$ et ${\frac {c}{a}}$ sont les tangentes. La partie de cette droite qui répond aux coordonnées $x,y,z$ sera donc

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=t{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;$

ce sera l’espace décrit pendant le temps $t,$ en vertu des trois mouvements uniformes. Ce mouvement composé sera donc aussi rectiligne et uniforme, avec une vitesse égale à ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$ À l’égard de sa direction, il est plus simple de la rapporter aux trois axes des coordonnées $x,y,z,$ et il est visible que, puisque $at,bt,ct$ sont les projections de la ligne $t{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ sur les trois axes, les rapports

${\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\quad {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\quad {\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

seront les cosinus des angles que cette direction fait avec les mêmes axes. La somme des carrés de ces cosinus est, comme l’on voit, égale à l’unité, ce qui est la propriété connue des angles qu’une même droite fait avec trois autres droites perpendiculaires entre elles.

8. Nommons $\mathrm {A}$ la vitesse du mouvement composé et $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles que la direction de ce mouvement fait avec les trois axes ; on aura

$\mathrm {A} ={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

et

${\frac {a}{\mathrm {A} }}=\cos \alpha ,\quad {\frac {b}{\mathrm {A} }}=\cos \beta ,\quad {\frac {c}{\mathrm {A} }}=\cos \gamma ,$