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pendiculairement à l’horizon, et $\rho$ le petit espace dont la résistance diminue l’espace $\alpha$ parcouru sur la tangente ; il est clair que le rapport de $\rho$ à $\gamma$ sera celui de la résistance à la gravité. Ainsi le corps, dans le temps qu’il aurait parcouru sur la tangente l’espace $\alpha -\rho ,$ serait descendu verticalement de la quantité $\gamma \,;$ par conséquent, $\gamma$ sera la flèche de l’arc $\alpha -\rho .$ Maintenant, si l’on considère le corps comme partant du même point et rebroussant chemin pour décrire en sens contraire le même arc de courbe qu’il a parcouru, il faudra regarder la résistance comme négative, et par conséquent comme une force qui accélère le mouvement au lieu de le retarder : Le mobile décrira ainsi, dans le même temps très-petit, l’espace $\alpha +\rho$ sur la même tangente dans une direction contraire, et descendra verticalement par le même espace $\gamma ,$ en vertu de la gravité. Par conséquent, $\gamma$ sera la flèche de l’arc $\alpha +\rho ,$ pris de l’autre côté du point de la courbe dont il s’agit. Or les flèches étant, pour les arcs infiniment petits, comme les carrés des arcs ou des tangentes, la flèche de la portion $\alpha -\rho$ de l’arc $\alpha +\rho$ sera $\gamma \left({\frac {\alpha -\rho }{\alpha +\rho }}\right)^{2}\,;$ donc la différence des flèches pour les arcs égaux $\alpha -\rho ,$ pris de part et d’autre du point donné de la courbe, sera

$\gamma \left[1-{\frac {(\alpha -\rho )^{2}}{(\alpha +\rho )^{2}}}\right]={\frac {4\alpha \gamma \rho }{(\alpha +\rho )^{2}}}.$

Nommons cette différence $\delta \,;$ on aura

${\frac {4\alpha \gamma \rho }{(\alpha +\rho )^{2}}}=\delta \quad {\text{et}}\quad {\frac {\rho }{\gamma }}={\frac {\delta (\alpha +\rho )^{2}}{4\alpha \gamma ^{2}}}={\frac {\delta \alpha }{4\gamma ^{2}}},$

à cause que la petite ligne $\rho ,$ parcourue d’un mouvement uniformément accéléré, est infiniment plus petite que la ligne $x,$ parcourue dans le même temps d’un mouvement uniforme.

Tel est le raisonnement de Newton, présenté de la manière la plus claire, et le résultat que nous venons de trouver s’accorde avec celui du corollaire II du problème cité, où il est visible que les lignes $\mathrm {CF}$ et $\mathrm {FG}$ sont ce que nous avons nommé $\alpha$ et $\gamma ,$ et que la différence $\mathrm {FG-K} l$ est ce que nous avons nommé $\delta .$