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conséquent, les équations qui exprimeront ces conditions ne pourront contenir que les différences $x-\xi ,\ldots$ des abscisses. Et, si les corps exercent les uns sur les autres des attractions ou des répulsions mutuelles, comme les fonctions $\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\ldots )$ dues à ces forces ne dépendent que des distances ${\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}},\ldots ,$ ces fonctions auront aussi la même propriété.

Donc, lorsque le mouvement du système sera tout à fait libre suivant la direction de l’axe des $x,$ de quelque manière que les corps agissent les uns sur les autres, soit par des forces quelconques de résistance, ou par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, l’équation précédente entre les abscisses $\mathrm {X} ,\xi ,\ldots$ des différents corps aura toujours lieu.

Si l’on prend dans le système un point qui réponde à l’abscisse $\mathrm {X} ,$ telle que l’on ait

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }},$

on aura

$\mathrm {X} ''=0,\quad {\text{et de là}}\quad \mathrm {X} '=a,\quad \mathrm {X} =at,$

en supposant que l’espace $\mathrm {X}$ soit nul au commencement du temps. Ainsi, le mouvement de ce point suivant la direction de l’axe des $x$ sera uniforme avec la vitesse constante $a.$

32. Si, dans le même système, on suppose que les corps $\mathrm {M,N} ,\ldots$ soient de plus animés par des forces quelconques $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ dirigées suivant l’axe des $x$ et tendant à augmenter les $x,\xi ,\ldots ,$ il faudra, dans ce cas, ajouter respectivement les quantités $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ aux valeurs de $\mathrm {M} x'',\mathrm {N} \xi '',\ldots ,$ ce qui donnera les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {M} x''=\mathrm {P} \,+\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x)+\ldots ,\\&\mathrm {N} \ \xi ''\,=\mathrm {Q} +\Pi \operatorname {F} '(\xi )\,+\Psi \Phi '(\xi )+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont la somme sera

$\mathrm {M} x''+\mathrm {N} \xi ''+\ldots =\mathrm {P+Q} +\ldots ,$