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et, si l’on substitue pour $\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots$ la quantité $\mathrm {(M+N+\ldots )X} ,$ on aura

$(\mathrm {M} +\mathrm {N} +\ldots )\mathrm {X} ''=\mathrm {P+Q} +\ldots ,$

équation qui représente le mouvement rectiligne suivant l’axe des $x$ d’un corps dont la masse serait $\mathrm {M+N} +\ldots$ et qui serait animé par une force égale à $\mathrm {P+Q} +\ldots .$

D’où l’on peut conclure que le point du système qui répond à l’abscisse $\mathrm {X}$ aura, dans la direction de l’axe des $x,$ le même mouvement qu’il aurait si tous les corps du système étaient concentrés dans ce point et que toutes les forces qui agissent sur les corps dans la direction du même axe lui fussent appliquées.

33. Si le système est libre à la fois relativement à l’axe des $x$ et à celui des $y,$ il est visible que les mêmes résultats auront lieu pour les mouvements suivant ces deux axes, et, si le système est absolument libre dans tous les sens, alors les mêmes résultats auront lieu par rapport aux trois axes et l’on en pourra conclure que, si l’on prend dans le système un point qui réponde aux coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ telles que l’on ait

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }},\\\mathrm {Y} =&{\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {N} \eta +\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }},\\\mathrm {Z} =&{\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {N} \zeta +\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }},\end{aligned}}$

ce point, lorsque le système n’est animé par aucune force extérieure, se mouvra uniformément en ligne droite, et que, si les différents corps du système sont animés par des forces quelconques, le même point se mouvra comme si tous les corps y étaient concentrés et que toutes les forces y fussent appliquées chacune suivant sa direction propre.

Le point dont il s’agit est connu, en Mécanique, sous le nom de centre de gravité, et la proposition que nous venons de démontrer s’é-