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action, quelque courte qu’elle puisse être, la formule du numéro précédent, de sorte qu’en nommant $\mathrm {U,V} ,\ldots$ leurs vitesses au commencement de l’action, $u,v,\ldots$ les vitesses à la fin de l’action, désignant de plus par $a,b,\ldots$ les valeurs des distances $p,q,\ldots$ au commencement et par $\alpha ,\beta ,\ldots$ leurs valeurs à la fin de la même action, on aura

$\mathrm {MU^{2}+NV^{2}} +\ldots -\mathrm {M} u^{2}-\mathrm {N} v^{2}-\ldots =2\operatorname {F} (a,b,\ldots )-2\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots ),$

ce qui montre que la différence des forces vives au commencement et à la fin de l’action sera

$2\operatorname {F} (a,b,\ldots )-2\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots ),$

où l’on remarquera que, quoique les quantités $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ diffèrent très-peu des quantités $a,b,\ldots ,$ la différence des fonctions semblables $\operatorname {F} (a,b,\ldots )$ et $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots )$ peut avoir une valeur finie quelconque.

44. Comme ces fonctions sont inconnues, on ne pourrait pas déterminer, de cette manière, la variation de la force vive ; mais dans les cas particuliers on pourra la trouver d’après les conditions du problème.

Lorsque des corps se choquent, soit immédiatement, soit par l’entremise de leviers ou de machines quelconques, si les corps sont parfaitement élastiques, la compression et la restitution se font suivant la même loi, et l’action est censée durer jusqu’à ce que les corps soient revenus, par la restitution du ressort, à la même position respective où la compression a commencé. On aura donc pour ce cas, dans l’équation précédente,

$\alpha =a,\quad \beta =b,\quad \ldots ,$

et par conséquent

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\ldots )=\operatorname {F} (a,b,\ldots ),$

d’où il suit que la force vive sera la même avant et après le choc : ce qu’on sait depuis longtemps, mais dont on n’avait pas, que je sache, une démonstration simple et générale.

Au contraire, dans le choc des corps durs, l’action n’est censée durer