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que jusqu’à ce que les corps aient acquis des vitesses en vertu desquelles ils ne se nuisent plus et qui, par conséquent, ne produisent point d’action entre eux, Ainsi, l’effet de ces vitesses sur l’action mutuelle des corps étant nul, si on leur imprimait ces mêmes vitesses avant ou pendant l’action, elle serait la même en vertu des vitesses composées de celles-ci et des vitesses propres des corps. Donc elle serait encore la même si les vitesses imprimées étaient égales et directement contraires à celles dont nous parlons ; car l’action ne varierait pas, en supposant qu’on détruisît ces vitesses imprimées par des vitesses opposées.

Il s’ensuit de là que, dans le choc des corps durs, les vitesses $u,v,\ldots ,$ après le choc, sont telles, que l’équation

$\mathrm {MU^{2}+NV^{2}} +\ldots -\mathrm {M} u^{2}-\mathrm {N} v^{2}-\ldots =2\operatorname {F} (a,b,c,\ldots )-2\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots )$

subsisterait également en composant les vitesses $\mathrm {U,V} ,\ldots ,$ $u,v,\ldots$ avec les vitesses $-u,-v,\ldots ,$ le second membre de cette équation demeurant le même, parce qu’il ne dépend que de la position mutuelle des corps avant et après le choc.

Si donc on nomme $\mathrm {A}$ la vitesse composée de $\mathrm {U}$ et de $-u,$ $\mathrm {B}$ la vitesse composée de $\mathrm {V}$ et de $-v,$ etc., l’équation deviendra

$\mathrm {MA^{2}+NB^{2}} +\ldots =2\operatorname {F} (a,b,c,\ldots )-2\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ),$

puisque les vitesses composées $u-u,\ v-v,$ sont nulles.

On aura donc, pour le choc des corps durs, cette équation

$\mathrm {MU^{2}+NV^{2}} +\ldots -\mathrm {M} u^{2}-\mathrm {N} v^{2}-\ldots =\mathrm {MA^{2}+NB^{2}} +\ldots .$

Comme $\mathrm {U,V} ,\ldots$ sont les vitesses avant le choc, et $u,v,\ldots$ les vitesses après le choc, il est clair que $\mathrm {A,B} ,\ldots$ seront les vitesses perdues par le choc ; par conséquent, $\mathrm {MA^{2}+NB^{2}} +\ldots$ sera la force vive qui résulterait de ces vitesses d’où l’on tire cette conclusion que, dans le choc des corps durs, il se fait une perte de forces vives égale à la force vive que les mêmes corps auraient s’ils étaient animés chacun de la vitesse qu’il perd dans le choc. Ce théorème remarquable est dû,