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gulière de l’équilibre ne peut pas être insérée ici ; on peut la voir dans la Mécanique analytique^[1].

46. Puisque les quantités $p',q',\ldots$ n’expriment que les vitesses des points où sont appliquées les forces $\mathrm {P,Q} ,\ldots ,$ estimées suivant la direction de ces forces, on peut prendre pour $p',q',\ldots$ les espaces simultanés parcourus par ces points suivant ces directions. Ainsi $\mathrm {P} p'$ sera la fonction prime de l’aire de la courbe dont l’abscisse serait égale à $p$ et l’ordonnée rectangle serait $\mathrm {P} ,$ et de même $\mathrm {Q} q'$ sera la fonction prime de l’aire de la courbe dont l’abscisse serait $q$ et l’ordonnée $\mathrm {Q} \,;$ et ainsi des autres (n^o 28, II^e Partie). Donc, si l’on désigne respectivement ces aires par $(\mathrm {P} ),(\mathrm {Q} ),\ldots ,$ et qu’on prenne les fonctions primitives des deux membres de l’équation du numéro précédent, on aura, en multipliant par $2,$ et nommant $\mathrm {U,V} ,\ldots$ les vitesses de $\mathrm {M,N} ,\ldots$ lorsque les aires $(\mathrm {P} ),(\mathrm {Q} ),\ldots$ sont supposées commencer,

$\mathrm {M} u^{2}+\mathrm {N} v^{2}+\ldots -\mathrm {MU^{2}-NV^{2}} -\ldots =2(\mathrm {P} )+2(\mathrm {Q} )+\ldots .$

Cette équation est la même que celle du n^o 42, qui renferme le principe de la conservation des forces vives ; mais elle est présentée ici d’une manière indépendante des fonctions qui peuvent représenter les forces $\mathrm {P,Q} ,\ldots .$

Si l’on suppose que ces forces agissent chacune séparément sur des corps libres dont les masses soient $m,n,\ldots ,$ on aura, par les équations fondamentales du n^o 15,

$mp''=\mathrm {P} ,\quad nq''=\mathrm {Q} ,\quad \ldots \,;$

donc, multipliant respectivement par $2p',2q',\ldots ,$ et prenant les fonctions primitives, on aura

$mp'^{2}=a+2(\mathrm {P} ),\quad nq'^{2}=b+2(\mathrm {Q} ),$

et ainsi des autres, $a$ et $b$ étant des constantes arbitraires. Donc, si

1. Œuvres de Lagrange, t. XI.