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en plusieurs décimales ; mais la formule générale que nous avons donnée ci-dessus pour l’expression de $x$ en $y$ sert à la simplifier et à la compléter, car, quel que soit le nombre $y,$ il suffira d’en extraire quelques racines carrées, jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre $y^{m}$ ou ${\sqrt[{r}]{y}},$ qui n’ait que l’unité avant la virgule ; alors les puissances de $y^{m}-1$ seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes, et, par conséquent, la série deviendra assez convergente pour qu’il suffise d’en prendre un petit nombre de termes.

21. On peut appliquer la méthode précédente à la recherche des séries qui expriment le sinus par l’arc ou l’arc par le sinus, et pour lesquelles on emploie aussi (comme l’a fait Euler dans le même Ouvrage) la considération de l’infiniment petit et de l’infini.

En effet, en partant de la formule connue pour la multiplication des angles

$\cos nx+\sin nx{\sqrt {-1}}=\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{n},$

on a réciproquement

$\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=\left(\cos nx+\sin nx{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{n}},$

où le nombre $n$ peut être quelconque.

Maintenant, quelle que soit l’expression de $\sin x$ en série de l’arc $x,$ elle ne peut être que de la forme $\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\ldots ,$ car, puisque le sinus devient nul lorsque l’arc est nul, il est visible que cette expression ne doit contenir aucun terme sans $x.$ Or, comme $\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x,}}$ on aura

$\cos x={\sqrt {1-\mathrm {A} ^{2}x^{2}-2\mathrm {AB} x^{3}-\ldots }}=1-{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+\ldots .$

Les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ sont censés indépendants de l’arc $x\,;$ par conséquent, ils seront les mêmes pour tout autre arc. Substituant donc $nx$ pour $x,$ on aura pareillement

$\sin nx=n\mathrm {A} x+n^{2}\mathrm {B} x^{2}+\ldots \quad {\text{et}}\quad \cos nx=1-{\frac {n^{2}\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+\ldots .$